30 mayo 2021 (1): Aquiles y la tortuga o la aporía de la competitividad

El filósofo de la Grecia antigua, Zenón de Elea, planteó una célebre paradoja en la que enfrentaba al invencible, o casi, Aquiles con una humilde tortuga en una sin igual carrera. Imaginemos que Aquiles corre a 20 km/h (los mejores maratonianos son capaces de mantener ese ritmo durante más de 2 horas), mientras que la tortuga sólo alcanza (y ya me parece un quelonio muy rápido) una velocidad de 2 km/h. Si Aquiles le concede 20 km de ventaja, en la primera hora transcurrida este habrá alcanzado la posición original de la tortuga, mientras que ella se situará 2 km más allá. A Aquiles le tomará sólo 6 minutos más llegar a esa segunda marca del reptil, pero cuando lo haya conseguido, el acorazado y calmoso animal se habrá ido 200 m adelante. Así que, según este razonamiento, por más que Aquiles corra, aunque vaya reduciendo la ventaja de su contrincante, jamás conseguirá alcanzarla porque, cuando el guerrero llegue a la anterior ubicación de la tortuga, ella siempre habrá recorrido una pequeña distancia hacia delante.

Esta reflexión, en apariencia impecable, choca contra el sentido común y la evidencia de que cualquier móvil que se desplaza a una velocidad diez veces la de su competidor no tardará demasiado en darlo alcance. Pero lector, no creas que refutar la aporía resultó tarea sencilla; de hecho, no fue sino con el advenimiento de la moderna matemática, desarrollada por Newton y Leibniz, cuando fue posible encarar el problema con el rigor de los números. Para comprender dónde falla la argumentación del griego basta con recurrir a las series geométricas de razón fraccionaria, en el caso particular de Aquiles la constituida por los términos 20+20/10+20/100... (es decir: una serie del tipo a+ar+ar2+ar3+... donde 20 es el coeficiente "a" y 1/10 es la razón "r") y, en el de la tortuga, la integrada por los términos 2+2/10+2/100+... (idéntica a la anterior salvo en lo que concierne al coeficiente "a", que ahora adquiere el valor de 2). La clave está en que, pese a tratarse de sumas de infinitos términos, las distancias recorridas por ambos contendientes convergen a valores finitos reales. Más exactamente: si sumamos los infinitos tramos recorridos por Aquiles: 20+2+0,2+0,02+..., es fácil constatar que la distancia total cubierta por el incansable héroe, el límite, es de 22,2222... km. De la misma forma, podemos sumar las infinitas etapas realizadas por la tortuga: 2+0,2+0,02+... Es igualmente evidente que suman 2,2222... km. Así que, como el semidios le había dado una ventaja de 20 km, la atrapará precisamente en el punto 22,2222... km. Curiosamente, la Física tiene una respuesta mucho más evidente: si ambos móviles se deslizan a lo largo de una única coordenada con movimiento rectilíneo uniforme, y el héroe parte del origen y la tortuga desde la ubicación 20, bastará resolver la ecuación de primer grado que resulta de igualar los espacios para saber en qué momento el atleta atrapará al premioso reptil (de ahí se puede determinar inmediatamente la coordenada de alcance).

Se preguntará el lector a qué cuento viene esta conocidísima y, tal vez, tediosa reflexión, pero no he podido sino evocarla ante el señuelo con el que el sistema económico azuza a los asalariados-tortugas para que reten al lebrel de la competitividad a un desigual duelo. El truco está en estimular la fútil esperanza de vencer de modo que, como en la errada fábula, la tortuga, el trabajador, esté convencido de sus absurdas posibilidades de victoria y se aplique a su auto explotación en un esfuerzo descomunal y de imposible premio. Tarde o temprano, dejará de ser útil y la jauría constituida por otros ingenuos lo dará caza, pereciendo devorado por las fauces delegadas del nuevo, pero efímero, triunfador. Lo que ignora ese segundo y, provisionalmente eufórico, velocista es que esta es una competición sin meta y que, tras dar cuenta del defenestrado, él será la nueva tortuga contra la que soltarán otros sabuesos aún más rápidos que él.

Nota: las cifras que van tras la razón “r” son las potencias a las que está elevada (el formato empleado no me posibilita su correcta notación).